Décimalisation des systèmes de numération

Les irrégularités des systèmes de numération, parmi lesquels celles du français ont été abordées dans un précédent contre-article, défavorisent l'apprentissage des mathématiques. Il ne s'agit évidemment pas d'adapter l'écriture mathématique à chaque système d'énonciaiton des nombres, car l'effet serait désastreux. Par contre, les langues peuvent, au contraire, adopter un système d'énonciation proche du système de notation mathématique, dans le soucis d'en intégrer plus aisément les concepts et de gagner ainsi en efficacité.

Sommaire

  1. Avertissement
  2. I. Exemple de numération régulière
  3. II. Du langage à l'écriture du nombre
  4. III. De l'écriture du nombre au langage
  5. IV. Conclusion

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I. Exemple de numération régulière

La numération japonaise dispose de systèmes d'énonciation et de notation parfaitement réguliers, celui-là étant la fidèle représentation de celui-ci. Ainsi, à chacun des adjectif numéraux correspond un chiffre.

Kanji
Traduction littéralezéroundeuxtroisquatreneuf
Kanji十一十二十三十四十九
Traduction littéraledixdix-undix-deuxdix-troisdix-quatredix-neuf
Kanji二十二十一二十二二十三二十四二十九
Traduction littéraledeux-dixdeux-dix-undeux-dix-deuxdeux-dix-troisdeux-dix-quatredeux-dix-neuf
Kanji十万百万千万
Traduction littéralecentmille[dix-mille]dix-[dix-mille]cent-[dix-mille]mille-[dix-mille][cent-millions]

Ceci vaut également pour les nombres décimaux : 0,0104 s'écrit 分四毛 (centième-quatre-[dix-millièmes]).

II. Du langage à l'écriture du nombre

Imaginons maintenant la transposition au français du principe « à un adjectif correspond un chiffre ». Le système de notation, jusqu'à cent-nonante-neuf, ressemblerait alors davantage au système grec.

Chiffre grecαβγδθ
Valeurundeuxtroisquatreneuf
Chiffre grecικλμϟ
Valeurdixvingttrentequarantenonante
Chiffre grecρστυϡ
Valeurcentdeux-centstrois-centsquatre-centsneuf-cents

Ainsi, ce principe reviendrait à adopter une notation de type grecque pour les dizaines et de type japonaise pour les puissances de dix supérieures, à ceci près que les Japonais utilisent une base auxiliaire dix-mille, et non mille ou un million. Si l'idée semble absurde, elle ne consiste pourtant qu'à transcrire à l'aide de chiffres une représentation mentale habituelle de la notion de quantité. Il est, en effet, courant de dire « une trentaine [de quelque chose] » plutôt que « trois dizaines [de quelque chose] », alors que « trois centaines de … » est plus courant que « une trois-centaine de … » et « trois milliers » que « un trois-millier ».

Pour noter tous les entiers naturels strictement inférieurs au million, il faudrait en fait vingt-sept symboles. Le tableau et les exemples qui suivent mélangent des caractères de différents alphabets, dans l'unique objet d'illustrer le propos.

Chiffre123456789
Valeurundeuxtroisquatrecinqsixsepthuitneuf
Chiffreικλμνξοπϟ
Valeurdixvingttrentequarantecinquantesoixanteseptantehuitantenonante
Chiffre0BCDEFG
Valeurzéroonzedouzetreizequatorzequinzeseizecentmille

De cette manière, deux-cent-quatre-vingt-douze s'écrirait 2百4κC, et trente-deux-mille-soixante-dix-sept λ2千ξι7. Les calculs avec de tels chiffres s'avèreraient excessivement compliqués. Cependant, leur manipulation peut aider à mieux appréhender les difficultés qu'entrainent les irrégularités du système d'énonciation des nombres.

Enfin, s'il s'agissait d'adapter l'écriture en chiffres à la linguistique, 38 en latin pourrait s'écrire 42 (deux avant quarante, soit quarante moins deux), 100 en danois a00 avec a = 1/2 (demi-cent), 172 en basque 1,31,2 (cent trois-vingts et dix-deux), 27 en wolof 2,12 (deux-dix et cinq-deux), la virgule servant de séparateur décimal pour les numérations utilisant une base auxiliaire. Mais cet exercice de manipulation de l'écriture arithmétique ne saurait présenter d'intérêt autre que didactique.

III. De l'écriture du nombre au langage

Pour obtenir un système régulier parfaitement décimal, il existe essentiellement quatre méthodes pour nommer les nombres de façon systématique, qui peuvent, au besoin, être étendues aux nombres décimaux. La désignation de parfaitement décimal vient du parti pris de disposer d'un terme pour 1010, car les composés du million sont malcommodes dans la mesure où ils obligent à effectuer une division par six, peu intuitive dans un sytème décimal, pour les grands nombres, que ceux-là soient ou non écrits sous forme de puissances de dix. Chacune de ces méthodes à ses avantages, même si la représentation de la quantité, qui en découle, diverge. Les tableaux qui suivent indiquent les valeurs nécessitant un nom pour chacune d'entre elles.

1. Méthode exclusivement additive

123456789
102030405060708090
100200300400500600700800900
100020003000400050006000700080009000
0,10,20,30,40,50,60,70,80,9
0,010,020,030,040,050,060,070,080,09

Note : à ce tableau s'ajoute 0.

Cette méthode est celle qui permet de nommer le plus rapidement les nombres usuels. Par exemple : 3456 est formé à l'aide de quatre termes, 600 à l'aide d'un seul.

2. Méthode multiplicative

123456789
101102103104105106107108109
101010201030104010501060107010801090
101001020010300104001050010600107001080010900
10-110-210-310-410-510-610-710-810-9
10-1010-2010-3010-4010-5010-6010-7010-8010-90

Note : à ce tableau s'ajoute 0.

Cette méthode est celle qui permet de nommer le plus rapidement les grands nombres.

3. Méthode positionnelle

En restreignant les termes à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, la méthode correspond exactement à l'écriture du nombre en chiffres. Cependant, pour que les grands nombres deviennent compréhensibles, il convient aussi introduire des termes intermédiraires (pour 103, 106, 109 ou pour 104, 108), puis des termes pour 1010, 1020, 1030, 1040, etc. De cette manière, 3456 est formé à l'aide de quatre termes, 600 à l'aide de trois.

4. Méthode semi-positionnelle

0123456789
100101102103104105106107108109
1010101110121013101410151016101710181019
1020102110221023102410251026102710281029
10-110-210-310-410-510-610-710-810-9
10-1010-1110-1210-1310-1410-1510-1610-1710-1810-19

Note : Le terme pour 100 peut remplacer avantageusement le mot « virgule » ; le terme « unité », désignant le rang d'un chiffre, peut se construire sur 100 plutôt que sur 1.

Cette méthode est celle qui se rapproche le plus de l'écriture positionnelle. En effet, les nombres sont ainsi constitués : unité rang unité rang ... unité. De cette manière, 3456 peut se former à l'aide de sept termes, 600 à l'aide de deux.

IV. Conclusion

Le propos n'est pas ici de livrer une construction de chacun de ces systèmes. Cela est laissé au soin du lecteur, à titre d'exercice. Néanmoins, des constructions sur des modèles proches de ceux présentés ont déjà été effectués. Le plus célèbre est certainement le système bibi-binaire de Boby Lapointe, mais il en existe d'autres. Ainsi, après avoir écrit la page sur la construction d'un système de numération alternatif, j'ai pris connaissance d'un document du Centre d'Études des Langues Indigènes d'Amérique, intitulé de certaines solutions au problème de la néonumération, qui traite du sujet avec tout le sérieux qui convient.